En este caso queremos ver si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}}$ converge o diverge. Vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando $n$ sea muuuuuy grande, se va a comportar como: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ Acordate que raíz enésima de polinomio de grado finito (como lo es $\sqrt[n]{n}$), cuando $n \rightarrow \infty$ tiende a $1$ Entonces decimos que: Sospecho que esta serie se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$, que es una serie que sabemos que converge por ser una serie $p$ con $p > 1$. Entonces, vamos a comparar nuestra serie con $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$ usando el criterio de comparación vía límite: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}} \cdot n^{3} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ Como el resultado del límite nos dio $>0$, entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.